Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD⊥AC，垂足為P．
（1）請作出Rt△ABC的外接圓⊙O；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）點D在⊙O上嗎？說明理由；
（3）試說明：AC平分∠BAD．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，⊙O為所作；

（2）解：點D在⊙O上．理由如下：

連結OD，

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∵∠ADB=90°，

∴OD= AC，即OD=OA，

∴點D在⊙O上

（3）解：∵AC是⊙O的直徑，BD⊥AC，

∴BC=CD，

∴

∴∠BAC=∠DAC，

∴AC平分∠BAD

【解析】（1）作AB和BC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點O，以OB為半徑作⊙O即可；（2）連結OD，先判斷AC是⊙O的直徑，而∠ADB=90°，根據直角三角形斜邊上的中線性質得OD= AC，即OD=OA，于是根據點與圓的位置關系可判斷點D在⊙O上；（3）由于AC是⊙O的直徑，BD⊥AC，根據垂徑定理得BC=CD，則 ，然后根據圓周角定理可得∠BAC=∠DAC．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的外接圓與外心(過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心)．