Question

【題目】如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA=3，AC=3 ﹣3，CD∥AB，并與弧AB相交于點M、N．
（1）求線段OD的長；
（2）若sin∠C= ，求弦MN的長；
（3）在（2）的條件下，求優弧MEN的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA

∵CD∥AB∴∠OAB=∠C，∠D=∠OBA

∴∠C=∠D，

∴OD=OC=OA+AC=3 ；

（2）解：過O作OE⊥CD，連接OM，則ME= MN，

∵tan∠C= ，即 = ，

∴設OE=x，則CE=2x，

在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即（3 ）2=x2+（2x）2，解得x=

在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（ ）2+ME2，解得ME= ，

∴由垂徑定理得MN=3；

（3）解：由（2）可得△OMN是等邊三角形，

∴∠MON=60°

∴優弧MEN的長度= =5π．

【解析】（1）根據CD∥AB，OA=OB，推出∠C=∠D，根據等腰三角形的判定證得OD=OC即可；（2）過O作OE⊥CD，連接OM，由垂徑定理可知ME= MN，再根據tan∠C= 可求出OE的長，利用勾股定理即可求出ME的長，進而求出答案；（3）由（2）可得△OMN是等邊三角形，即∠MON=60°，由弧長公式即可得到結論．