Question

【題目】閱讀理解
拋物線y=x2上任意一點到點（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，你可以利用這一性質解決問題．
問題解決
如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+1與y軸交于C點，與函數y=x2的圖象交于A，B兩點，分別過A，B兩點作直線y=﹣1的垂線，交于E，F兩點．

（1）寫出點C的坐標，并說明∠ECF=90°
（2）在△PEF中，M為EF中點，P為動點．
①求證：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②已知PE=PF=3，以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF，若1＜PD＜2，試求CP的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，y=k0+1=1，

則點C的坐標為（0，1）．

根據題意可得：AC=AE，

∴∠AEC=∠ACE．

∵AE⊥EF，CO⊥EF，

∴AE∥CO，

∴∠AEC=∠OCE，

∴∠ACE=∠OCE．

同理可得：∠OCF=∠BCF．

∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，

∴2∠OCE+2∠OCF=180°，

∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°

（2）

①過點P作PH⊥EF于H，

Ⅰ．若點H在線段EF上，如圖2①．

∵M為EF中點，

∴EM=FM=EF．

根據勾股定理可得：

PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2

=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）

=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2

=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）

=EM（EH+MH+HF﹣MH）

=EMEF=2EM2，

∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；

Ⅱ．若點H在線段EF的延長線（或反向延長線）上，如圖2②．

同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．

綜上所述：當點H在直線EF上時，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；

②連接CD、PM，如圖3．

∵∠ECF=90°，

∴CEDF是矩形，

∵M是EF的中點，

∴M是CD的中點，且MC=EM．

由①中的結論可得：

在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），

在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．

∵MC=EM，

∴PC2+PD2=PE2+PF2．

∵PE=PF=3，

∴PC2+PD2=18．

∵1＜PD＜2，

∴1＜PD2＜4，

∴1＜18﹣PC2＜4，

∴14＜PC2＜17．

∵PC＞0，

∴＜PC＜．

【解析】（1）如圖1，只需令x=0，即可得到點C的坐標．根據題意可得AC=AE，從而有∠AEC=∠ACE．易證AE∥CO，從而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠BCF，然后利用平角的定義即可證到∠ECF=90°；
（2））①過點P作PH⊥EF于H，分點H在線段EF上（如圖2①）和點H在線段EF的延長線（或反向延長線）上（如圖2②）兩種情況討論，然后只需運用勾股定理及平方差公式即可證到PE2+PF2﹣2PM2=2EM2 ， 即PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②連接CD，PM，如圖3．易證CEDF是矩形，從而得到M是CD的中點，且MC=EM，然后根據①中的結論，可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2 ． 根據PE=PF=3可求得PC2+PD2=18．根據1＜PD＜2可得1＜PD2＜4，即1＜18﹣PC2＜4，從而可求出PC的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．