Question

【題目】模型介紹：古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸側的兩個軍營A、B，他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后再去B營，如圖 ①，他時常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙的解決了這問題

如圖②，作B關于直線l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．
請你在下列的閱讀、應用的過程中，完成解答．
（1）理由：如圖③，在直線L上另取任一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，
∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上
∴CB= ， C′B=
∴AC+CB=AC+CB′= ．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
歸納小結：
本問題實際是利用軸對稱變換的思想，把A、B在直線的同側問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C為AB′與l的交點，即A、C、B′三點共線）．
本問題可拓展為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”問題的數學模型．
（2）模型應用
如圖 ④，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，F是AC上一動點．
求EF+FB的最小值
分析：解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知，B與D關于直線AC對稱，連結ED交AC于F，則EF+FB的最小值就是線段的長度，EF+FB的最小值是 ．

如圖⑤，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數為60°，點B是 的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值是；
如圖⑥，一次函數y=﹣2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點，點O為坐標原點，點C與點D分別為線段OA，AB的中點，點P為OB上一動點，求：PC+PD的最小值，并寫出取得最小值時P點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）CB'；C'B'；AB'
（2）DE；；2
【解析】解：（1）理由：如圖③，在直線L上另取任一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，
∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上
∴CB=CB'，C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
所以答案是：CB'，C'B'，AB'；（2）模型應用
①解決這個問題，可以借助上面的模型，由正方形的對稱性可知，B與D關于直線AC對稱，連結ED交AC于F
則EF+FB的最小值就是線段DE的長度，EF+FB的最小值是 ．
在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°
∵點E是AB中點，
∴AE=1，
根據勾股定理得，DE= ，
即：EF+FB的最小值 ，
所以答案是：DE， ；
②如圖⑤，

由圓的對稱性可知，A與A'關于直徑CD對稱，連結A'B交CD于F，則AE+EB的最小值就是線A'BE的長度，
∴∠AOD=∠A'OD=60°
∵點B是 的中點，
∴∠AOB=∠BOD= ∠AOD=30°，
∴∠A'OB=90°
∵⊙O的直徑為4，
∴OA=OA'=OB=2，
在Rt△A'OB中，A'B=2 ，
∴BP+AP的最小值是2 ．
所以答案是2 ，
③如圖⑥，

由平面坐標系中的對稱性可知，C與C'關于直徑y軸對稱，連結C'D交y軸于P，則PC+PD的最小值就是線C'D的長度，
∵一次函數y=﹣2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點，
∴A（2，0），B（0，4），
∴C（1，0），D（1，2），
∵C與C'關于直徑y軸對稱，
∴C'（﹣1，0），
∴C'D= =2 ，
∴PC+PD的最小值為2 ，
∵C'（﹣1，0），D（1，2），
∴直線C'D的解析式為y=x+1，
∴P（0，1）．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．