Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中， 已知矩形ABCD的兩個頂點B、C的坐標分別是B（1，0）、C（3，0）．直線AC與y軸交于點G（0，6）．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動．同時動點 Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．

（1）求直線AC的解析式；
（2）當t為何值時，△CQE的面積最大？最大值為多少？
（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使得以C、Q、E、H為頂點的四邊形是菱形？

Answer 1

（1）；（2）2，1；（3）或

試題分析：（1）設直線AC的解析式為由圖象經過G(0，6)、C（3，0）兩點根據待定系數法求解即可；
（2）先求得點A的坐標，由AP=CQ=t，可得點P（1，4-t）.將y=4–t代入中，得點E的橫坐標為x=. 即得點E到CD的距離為，再根據三角形的面積公式及二次函數的性質求解即可；
（3）過點E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．分當點H在點E的下方時，當點H在點E的上方時，根據菱形的性質及勾股定理求解即可.
（1）設直線AC的解析式為
∵直線AC經過G(0，6)、C（3，0）兩點，
∴ 解得 
∴直線AC的解析式為；
（2）在中，當x=1時，y="4." ∴A（1，4）.
∵AP=CQ=t，
∴點P（1，4-t）.
將y=4–t代入中，得點E的橫坐標為x=.
∴點E到CD的距離為.
∴S_△CQE===
∴當t=2時，S_△CQE最大，最大值為1；
（3）過點E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．

當點H在點E的下方時，連結CH.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵四邊形CQEH為菱形，
∴.
在Rt△HMC中，由勾股定理得.
∴.
整理得.
解得，（舍）.
∴當時，以C，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形.
當點H在點E的上方時，同理可得當時. 以C，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形.
∴t的值是或.
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.