Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上（點D不與點A，C重合），點E是射線BC上的一個動點（點E不與點B，C重合），連接DE，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF.

（1）如圖1，當DE的延長線與AB的延長線相交，且點C，F在直線DE的同側時，過點D作DG∥AB，DG交BC于點G，求證：CF=EG；

（2）如圖2，當DE的反向延長線與AB的反向延長線相交，且點C，F在直線DE的同側時，求證：CD=CE+CF；

（3）如圖3，當DE的反向延長線與線段AB相交，且點C，F在直線DE的異側時，猜想CD、CE、CF之間的等量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）FC=DC+EC，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質和平行線的性質證出△DCG是等邊三角形，得出DC＝DG，由△DEF是等邊三角形得出DF＝DE，然后根據角的關系得出∠EDG＝∠FDC，進而得出△EDG≌△FDC，根據全等三角形的性質即可得出結論；

（2）過點D作DG∥AB，DG交BC于點G．同（1）的證明思路可得△EDG≌△FDC．根據全等三角形的對應邊相等等量代換即可得出結論；

（3）過點D作DG∥AB，DG交BC于點G．類似于（1）（2）的證明思路可得△EDG≌△FDC．根據全等三角形的對應邊相等等量代換即可得出結論．

試題解析：

（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

∵DG∥AB，

∴∠DGC＝∠B．

∴∠DGC＝∠DCG＝60°．

∴△DGC是等邊三角形．

∴DC＝DG，∠CDG＝60°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°

∴∠EDG＝60°－∠GDF，∠FDC＝60°－∠GDF，

∴∠EDG＝∠FDC，

∴△EDG≌△FDC．

∴FC＝EG．

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

如圖2，過點D作DG∥AB，DG交BC于點G．

∴∠DGC＝∠B＝60°．

∴∠DGC＝∠DCG＝60°

∴△DGC是等邊三角形．

∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°，

∴∠EDG＝60°－∠CDE，∠FDC＝60°－∠CDE，

∴∠EDG＝∠FDC．

∴△EDG≌△FDC．

∴EG＝FC．

∵CG＝CE＋EG，

∴CG＝CE＋FC．

∴CD＝CE＋FC．

（3）解：如圖3，猜想DC、EC、FC之間的等量關系是FC＝DC＋EC．

證明如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°．

過點D作DG∥AB，DG交BC于點G．

∴∠DGC＝∠B．

∴∠DGC＝∠DCG＝60°

∴△DGC是等邊三角形．

∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°．

∵△DEF是等邊三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°，

∴∠EDG＝60°＋∠CDE，∠FDC＝60°＋∠CDE，

∴∠EDG＝∠FDC．

∴△EDG≌△FDC．

∴EG＝FC．

∵EG＝EC＋CG，

∴FC＝EC＋DC．