Question

【題目】如圖，直線l：y=x﹣ 與x軸正半軸、y軸負半軸分別相交于A、C兩點，拋物線y= x2+bx+c經過點B（﹣1，0）和點C．
（1）填空：直接寫出拋物線的解析式：；
（2）已知點Q是拋物線y= x2+bx+c在第四象限內的一個動點．
①如圖，連接AQ、CQ，設點Q的橫坐標為t，△AQC的面積為S，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值；

②連接BQ交AC于點D，連接BC，以BD為直徑作⊙I，分別交BC、AB于點E、F，連接EF，求線段EF的最小值，并直接寫出此時Q點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）y= x2﹣ x﹣
（2）

解：①作QM∥y軸交直線AC于M，如圖①，

設Q（t， t2﹣ t﹣ ），則M（t，t﹣ ），

∴MQ=t﹣ ﹣（ t2﹣ t﹣ ）=﹣ t2+ t，

∴S=S△CMQ﹣S△AMQ= MQ1=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ，

當t=1時，S有最大值 ；

②連接OE、OF，作OH⊥EF于H，如圖②，則EH=FH，

在Rt△OBC中，∵tan∠OBC= = ，

∴∠OBC=60°，

同理可得∠OAC=60°，AC=2OA=2，

∴△ABC為等邊三角形，

∵∠EIF=2∠EBF，

∴∠EIF=120°，

∴∠IEH=30°，

在Rt△IEH中，∵cos∠IEH= ，

∴EH= IE，

∴EF=2EH= IE，

而IE= BD

∴EF= BD，

當BD的值最小時，EF的值最小，

而當BD⊥AC時，即BD為等邊△ABC的高時，BD的值最小，

此時BD= AC= ，

∴線段EF的最小值為 ，

∵∠QBA=30°，

∴直線BQ與y軸的交點為（0，﹣ ），

易得直線BQ的解析式為y=﹣ x﹣ ，

解方程組 得 或 ，

∴此時Q點的坐標為（2，﹣ ）

【解析】解：（1）當y=0時，x﹣ =0，解得x= ，則A（ ，0），
當x=0時，y=x﹣ =﹣ ，則C（0，﹣ ），把B（﹣1，0），C（0，﹣ ）代入y= x2+bx+c得 ，解得 ，
所以拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣ ；
所以答案是y= x2﹣ x﹣ ；
【考點精析】認真審題，首先需要了解一次函數的圖象和性質(一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠)，還要掌握二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)的相關知識才是答題的關鍵．