Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A、B兩點.點A的橫坐標為－3，點B在y軸上，點P是y軸左側拋物線上的一動點，橫坐標為m，過點P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當m為何值時，；

（3）是否存在點P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x-1；（2）∴m=,-2，或-3時S四邊形OBDC=2SS△BPD

【解析】試題分析：（1）由x=0時帶入y=x-1求出y的值求出B的坐標，當x=-3時，代入y=x-1求出y的值就可以求出A的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式；

（2）連結OP，由P點的橫坐標為m可以表示出P、D的坐標，可以表示出S四邊形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可．

（3）如圖2，當∠APD=90°時，設出P點的坐標，就可以表示出D的坐標，由△APD∽△FCD就可與求出結論，如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，就有,可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性質就可以求出結論．

試題解析：

∵y=x-1，∴x=0時，y=-1，∴B（0，-1）．

當x=-3時，y=-4，∴A（-3，-4）．

∵y=x2+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點，∴

∴∴拋物線的解析式為：y=x2+4x-1；

（2）∵P點橫坐標是m（m＜0），∴P（m，m2+4m-1），D（m，m-1）

如圖1①，作BE⊥PC于E， ∴BE=-m．

CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m2，

∴PD=1-4m-m2-1+m=-3m-m2，

∴

解得：m1=0（舍去），m2=-2，m3=

如圖1②，作BE⊥PC于E，

∴BE=-m．

PD=1-4m-m2+1-m=2-4m-m2，

解得：m=0（舍去）或m=-3，

∴m=,-2，或-3時S四邊形OBDC=2S△BPD；

）如圖2，當∠APD=90°時，設P（a，a2+4a-1），則D（a，a-1），

∴AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m2，

∴DP=1-4m-m2-1+m=-3m-m2．

在y=x-1中，當y=0時，x=1，

∴（1，0），

∴OF=1，∴CF=1-m．AF=4

∵PC⊥x軸，

∴∠PCF=90°，

∴∠PCF=∠APD，

∴CF∥AP，

∴△APD∽△FCD，

∴

解得：m=1舍去或m=-2，∴P（-2，-5）

如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，

∴∠AEF=90°．CE=-3-m，EF=4，AF=4

PD=1-m-（1-4m-m2）=3m+m2．

∵PC⊥x軸，∵PC⊥x軸，

∴∠DCF=90°，

∴∠DCF=∠AEF，

∴AE∥CD．

∴AD=(-3-m)

∵△PAD∽△FEA，

∴

∴m=-2或m=-3

∴P（-2，-5）或（-3，-4）與點A重合，舍去，

∴P（-2，-5）．