Question

【題目】Rt△ABC在直角坐標系內的位置如圖所示，反比例函數 在第一象限內的圖象與BC邊交于點D（4，m），與直線AB：y= x+b交于點E（2，n）．

（1）m= ，點B的縱坐標為 ；（用含n的代數式表示）；

（2）若△BDE的面積為2，設直線AB與y軸交于點F，問：在射線FD上，是否存在異于點D的點P，使得以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，現有一動點M，從O點出發，沿x軸的正方向，以每秒2個單位的速度運動，設運動時間為t（s），問：是否存在這樣的t，使得在直線AB上，有且只有一點N，滿足∠MNC＝45°？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）n； n+1；（2）P(5，1)．（3）t＝、t=20﹣6

．

【解析】（1）∵點E（2，n）和點D（4，m）在反比例函數 的圖象上，∴k=2n，k=4m，∴4m=2n，∴m=n，∵點E（2，n）在直線 上，∴點E的坐標是（2，1+b），∴1+b=n，∴b=n﹣1，∵點B的橫坐標是4，點B在直線上，∴點B的坐標是（4，2+b），∴點B的縱坐標是2+n﹣1=n+1；

故答案為：n；n+1．

（2）∵E（2，n），D（4，n），B（4，n+1），由S△BDE=2得×（n+1）×2＝2解得n＝2．此時直線AB為y=x+1，A（－2，0）、F（0，1）．

同時，B（4，3），D（4，1），C（4，0）．∴FD∥AC．

射線FD上，異于點D的點P，使得以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，只可能為△BFP∽△CAB．

∴，，解得FP＝5．從而可得P（5，1）．

（3）以MC為斜邊，作等腰直角△QMC，則以Q為圓心、QM為半徑的⊙Q，與直線AB的公共點N恰好符合∠MNC＝45°．由題意知，在直線AB上，有且只有一點N，滿足∠MNC＝45°，∴⊙Q恰好與AB相切．∴點Q到AB的距離d＝QM＝ MC．

①運動t（s）時，M（2t，0）．當點M在C點左側時，則MC＝4－2t．

由S△QAB＋S△QAC＋S△QBC＝S△ABC可得

×3× （4－2t）＋×6× ＋×3×＝×6×3．解得t＝．

②當M在C點右側時，則MC＝2t－4．利用S△QAB＋S△QAC——S△QBC＝S△ABC，

同理可得t＝ ．