Question

【題目】如圖，為了保護運河入江口的古橋OA，規劃建一座新橋BC，已知，古橋OA與河岸OC垂足，新橋BC與河岸AB垂直，且BC=AB，OC=210m，tan∠BCO= ．

（1）分別求古橋OA與新橋BC的長；
（2）根據規劃，建新橋的同時，將對古橋設立一個保護區，要求：
保護區的邊界為與BC相切的圓，且圓心M在線段OA上；
古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離不少于140m，設圓形保護區半徑為R．OM=xm．
①試求半徑R與x的關系式；
②試探究：當x多長時，圓形保護區的面積最大？并求出最大面積時R的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過B作BH⊥OC，垂足為H，

由tan∠BCO= ，設BH=4x，則CH=3x，BC=5x，

又∵AB⊥BC知，即∠ABH+∠CBH=90°，

又∠BCH+∠CBH=90°，

∴∠ABH=∠BCH，

再過A作AG⊥BH，垂足為G，則∠AGB=∠BHC=90°，

∵AB=BC，

∴△ABG≌△BCH（AAS），

∴BG=CH=3x，AG=BH=4x，

則OH=4x，OA=HG=x，

又OC=210m，即7x=210，x=30，

5x=150，

故古橋OA的長為30m，新橋BC的長的長為150m

（2）解：如圖2所示，

因為OM=xm，故AM=（30﹣x）m，

過M作MN⊥BC，分別交BC、BH于N、P，

則MN即為保護區半徑R，且MP=AB=150，BP=MA=30﹣x

Rt△BHC∽Rt△BNP， ，則 ，PN=18﹣ x

①半徑R=MN=MP+PN=150+18﹣ x=168﹣ x

即R=160﹣ x（0≤x≤30）

②由題意得：R﹣OM≥140，即（168﹣ x）﹣x≥140，解得x≤

又R﹣AM≥140，即（168﹣ x）﹣（30﹣x）≥140，解得x≥5

故有：5≤x≤

因為，要使圓面積最大，其半徑R最大，而R最大也就是x要取最小值，

故當x=5時，圓面積最大，此時半徑為R的值為165m．

【解析】（1）利用正切的比設出BH=4x，CH=3x，則BC=5x，作輔助線構建直角三角形證△ABG≌△BCH，利用等量關系列方程求出x的值，從而求出古橋OA與新橋BC的長；（2）過M作MN⊥BC，構建直角△BNP，證明Rt△BHC∽Rt△BNP，得比例式表示出PN和半徑R的長，根據已知古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離不少于140m和三角形的三邊關系得出不等式組，求出x的取值，最后得出結論．