Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+c（a＞0）經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為y軸上任意一點，當點M到A，B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標；
（3）在第（2）問的結論下，拋物線上的點P使S△PAD=4S△ABM成立，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得： ，

解得 ；

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4

（2）

解：由于A、D關于拋物線的對稱軸（即y軸）對稱，連接BD．

則BD與y軸的交點即為M點；

設直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則有：

，

解得 ；

∴直線BD的解析式為y=x﹣2，點M（0，﹣2）

（3）

解：

設BC與y軸的交點為N，則有N（0，﹣3）；

∴MN=1，BN=1，ON=3；

S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM= （1+2）×3﹣ ×2×2﹣ ×1×1=2；

∴S△PAD=4S△ABM=8；

由于S△PAD= AD|yp|=8，

即|yp|=4；

當P點縱坐標為4時，x2﹣4=4，

解得x=±2 ，

∴P1（﹣2 ，4），P2（2 ，4）；

當P點縱坐標為﹣4時，x2﹣4=﹣4，

解得x=0，

∴P3（0，﹣4）；

故存在符合條件的P點，且P點坐標為：P1（﹣2 ，4），P2（2 ，4），P3（0，﹣4）．

【解析】（1）將A、B點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數的值；（2）由于A、D關于拋物線對稱軸即y軸對稱，那么連接BD，BD與y軸的交點即為所求的M點，可先求出直線BD的解析式，即可得到M點的坐標；（3）設直線BC與y軸的交點為N，那么△ABM的面積即為梯形ABNO、△BMN、△AOM的面積差，由此可求出△ABM和△PAD的面積；在△PAD中，AD的長為定值，可根據其面積求出P點縱坐標的絕對值，然后代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．