Question

【題目】在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，△BCF和△CDG都是等邊三角形，點M為AE的中點，連接FG．

（1）如圖1，若點E在AC的延長線上，點M與點C重合，則△FMG　　　　　　等邊三角形（填“是”或“不是”）

（2）將圖1中的CE縮短，得到圖2．求證：△FMG為等邊三角形；

（3）將圖2中的CE繞點E順時針旋轉一個銳角，得到圖3．求證：△FMG為等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

(1)如圖1,易證FM=BM=MD=MG, ∠FMG=60°,即可得到△FMG是等邊三角形;(2)如圖2,易證BD=BC+CD=AM,從而可得MD=AB.由△BCF和△CDG都是等邊三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,從而可證到MD=BF,BM=GD,進而可得到△FBM≌△MDG,則有MF=GM, ∠BFM=∠DMG,從而可證到∠FMG=60°,即可得到△FMG為等邊三角形;(3)如圖3,連接BM、DM,根據三角形中位線定理可得BM∥CE,BM= CE=CD,DM∥AC,DM=AC=BC.再根據△BCF和△CDG都是等邊三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,從而得到BF=BC=DM,BM=CD=GD, ∠FBC=∠GDC.由BM∥CE,DM∥AC,可得四邊形BCDM是平行四邊形,從而得到∠BMD=∠DCB=120°, ∠CDM=∠MBC=60°,即可得到∠FBM=∠GDM=120°,即可得到△FBM≌△MDG,則有MF=GM, ∠FMB=∠MGD,從而可得∠FMG=∠BMD-∠FMB-GMD=∠BML,即可得到△FMG為等邊三角形.

（1）如圖1，

∵點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，點M為AE的中點，點M與點C重合，

∴AB=BM=AM=ME=MD=DE．

∵△BCF和△CDG都是等邊三角形，點M與點C重合，

∴FM=BM，MD=GM，

∴FM=GM．

∵∠FMG=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴△FMG是等邊三角形．

故答案為：是；

（2）如圖2，

∵點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，點M為AE的中點，

∴AB=BC=AC，CD=DE=CE，AM=ME=AE，

∴BD=BC+CD=AC+CE=AE=AM，即BM+MD=BM+AB，

∴MD=AB．

∵△BCF和△CDG都是等邊三角形，

∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，

∴MD=AB=BC=BF，BM=BC﹣MC=MD﹣MC=CD=GD．

在△FBM和△MDG中，

，

∴△FBM≌△MDG，

∴MF=GM，∠BFM=∠DMG．

∵∠BFM+∠FMB+∠FBM=180°，∠DMG+∠FMB+∠FMG=180°，

∴∠FMG=∠FBM=60°，

∴△FMG為等邊三角形；

（3）如圖3，連接BM、DM，

∵點B是線段AC的中點，點D是CE的中點，點M為AE的中點，

∴BM∥CE，BM=CE=CD，DM∥AC，DM=AC=BC．

∵△BCF和△CDG都是等邊三角形，

∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，

∴BF=BC=DM，BM=CD=GD，∠FBC=∠GDC．

∵BM∥CE，DM∥AC，

∴四邊形BCDM是平行四邊形，

∴∠BMD=∠DCB=120°，∠CDM=∠MBC=60°，

∴∠FBM=∠GDM=120°．

在△FBM和△MDG中，

，

∴△FBM≌△MDG，

∴MF=GM，∠FMB=∠MGD，

∴∠FMG=∠BMD﹣∠FMB﹣∠GMD=∠BMD﹣∠MGD﹣∠GMD

=120°﹣（180°﹣120°）=60°，

∴△FMG為等邊三角形．