Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=﹣x+b交y軸于點A，交x軸于點B，S△AOB=8．

（1）求點B的坐標和直線AB的函數表達式；

（2）直線a垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線a上一動點，且在點D的上方，設點P的縱坐標為m．

①用含m的代數式表示△ABP的面積；

②當S△ABP=6時，求點P的坐標；

③在②的條件下，在坐標軸上，是否存在一點Q，使得△ABQ與△ABP面積相等？若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（4，0），直線AB的函數表達式為y=﹣x+4；

（2）①S△ABP=2m﹣4；②點P的坐標為（2，5）；③存在，點Q的坐標為（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可找出點A、B的坐標，結合S△AOB=8即可求出b值，進而可得出點B的坐標和直線AB的函數表達式；

（2）①由OB的長度結合直線a垂直平分OB，可得出OE、BE的長度，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，進而可用含m的代數式表示出DP的值，再利用三角形的面積公式即可用含m的代數式表示△ABP的面積；

②由①的結論結合S△ABP=6，即可求出m值，此題得解；

③分點Q在x軸及y軸兩種情況考慮，利用三角形的面積公式即可求出點Q的坐標，此題得解．

解：（1）∵直線AB：y=﹣x+b交y軸于點A，交x軸于點B，

∴點A的坐標為（0，b），點B的坐標為（b，0）．

∵S△AOB=b2=8，

∴b=±4．

∵點A在y軸正半軸上，

∴b=4，

∴點B的坐標為（4，0），直線AB的函數表達式為y=﹣x+4；

（2）①∵直線a垂直平分OB，OB=4，

∴OE=BE=2，

當x=2時，y=﹣x+4=2，

∴點D的坐標為（2，2），

∵點P的坐標為（2，m）（m＞2），

∴PD=m﹣2，

∴S△ABP=S△APD+S△BPD，

=DPOE+DPBE，

=×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4；

②∵S△ABP=6，

∴2m﹣4=6，

∴m=5，

∴點P的坐標為（2，5）；

③假設存在．

當點Q在x軸上時，設其坐標為（x，0），

∵S△ABQ=AOBQ=×4×|x﹣4|=6，

∴x1=1，x2=7，

∴點Q的坐標為（1，0）或（7，0）；

當點Q在y軸上時，設其坐標為（0，y），

∵S△ABQ=BOAQ=×4×|y﹣4|=6，

∴y1=1，y2=7，

∴點Q的坐標為（0，1）或（0，7）．

綜上所述：假設成立，即在坐標軸上，存在一點Q，使得△ABQ與△ABP面積相等，且點Q的坐標為（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．