Question

【題目】如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線．

（1）用直尺和圓規作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）．
（2）連結BE，DF，問四邊形BEDF是什么四邊形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖所示，EF為所求直線．

（2）

解：四邊形BEDF為菱形，理由為：

證明：∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∵BF=DF，

∴BE=ED=DF=BF，

∴四邊形BEDF為菱形．

【解析】（1）分別以B、D為圓心，比BD的一半長為半徑畫弧，交于兩點，確定出垂直平分線即可；（2）連接BE，DF，四邊形BEDF為菱形，理由為：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD與BC平行，得到一對內錯角相等，等量代換及等角對等邊得到BE=BF，再由BF=DF，等量代換得到四條邊相等，即可得證．此題考查了矩形的性質，菱形的判定，以及作圖﹣基本作圖，熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵．