Question

【題目】如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點C，BD平分∠ABF，且交AE于點D，連接CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠CBD，

又∵BD平分∠ABF，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

同理：AB=BC，

∴AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，BD=6，

∴AC⊥BD，OD=OB= BD=3，

∵∠ADB=30°，

∴cos∠ADB= = ，

∴AD= =2 ．

【解析】（1）由平行線的性質和角平分線定義得出∠ABD=∠ADB，證出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結論；（2）由菱形的性質得出AC⊥BD，OD=OB= BD=3，再由三角函數即可得出AD的長．