Question

【題目】如圖，已知直線l：y=﹣x，雙曲線y= ，在l上取一點A（a，﹣a）（a＞0），過A作x軸的垂線交雙曲線于點B，過B作y軸的垂線交l于點C，過C作x軸的垂線交雙曲線于點D，過D作y軸的垂線交l于點E，此時E與A重合，并得到一個正方形ABCD，若原點O在正方形ABCD的對角線上且分這條對角線為1：2的兩條線段，則a的值為 ．

Answer 1

【答案】或
【解析】解：依照題意畫出圖形，如圖所示．

∵點A的坐標為（a，﹣a）（a＞0），
∴點B（a， ）、點C（﹣ ， ）、點D（﹣ ，﹣a），
∴OA= = a，OC= = ．
又∵原點O分對角線AC為1：2的兩條線段，
∴OA=2OC或OC=2OA，
即 a=2× 或 =2 a，
解得：a1= ，a2=﹣ （舍去），a3= ，a4=﹣ （舍去）．
故答案為： 或 ．
本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，再由兩點間的距離公式求出線段的長度是關鍵．根據點的選取方法找出點B、C、D的坐標，由兩點間的距離公式表示出線段OA、OC的長，再根據兩線段的關系可得出關于a的一元二次方程，解方程即可得出結論．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、兩點間的距離公式以及解一元二次方程，解題的關鍵是找出線段OA、OC的長．