Question

【題目】凱里市某文具店某種型號的計算器每只進價12元，售價20元，多買優惠，優勢方法是：凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降價0.1元，例如：某人買18只計算器，于是每只降價0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所買的18只計算器都按每只19.2元的價格購買，但是每只計算器的最低售價為16元．
（1）求一次至少購買多少只計算器，才能以最低價購買？
（2）求寫出該文具店一次銷售x（x＞10）只時，所獲利潤y（元）與x（只）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）一天，甲顧客購買了46只，乙顧客購買了50只，店主發現賣46只賺的錢反而比賣50只賺的錢多，請你說明發生這一現象的原因；當10＜x≤50時，為了獲得最大利潤，店家一次應賣多少只？這時的售價是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：設一次購買x只，

則20﹣0.1（x﹣10）=16，

解得：x=50．

答：一次至少買50只，才能以最低價購買

（2）解：當10＜x≤50時，

y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x，

當x＞50時，y=（16﹣12）x=4x；

綜上所述：y=

（3）解：y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，

①當10＜x≤45時，y隨x的增大而增大，即當賣的只數越多時，利潤更大．

②當45＜x≤50時，y隨x的增大而減小，即當賣的只數越多時，利潤變小．

且當x=46時，y1=202.4，

當x=50時，y2=200．

y1＞y2．

即出現了賣46只賺的錢比賣50只賺的錢多的現象．

當x=45時，最低售價為20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此時利潤最大

【解析】本題考查了二次函數的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=﹣ 時取得．（1）設一次購買x只，由于凡是一次買10只以上的，每多買一只，所買的全部計算器每只就降低0.10元，而最低價為每只16元，因此得到20﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（2）由于根據（1）得到x≤50，又一次銷售x（x＞10）只，因此得到自變量x的取值范圍，然后根據已知條件可以得到y與x的函數關系式；（3）首先把函數變為y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，然后可以得到函數的增減性，再結合已知條件即可解決問題．