Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)C（3，0），交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B（﹣1，0），∠ACB=45°．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，且AD=2CD，過點(diǎn)D作DE∥y軸，交拋物線一點(diǎn)E，點(diǎn)P為x軸上方拋物線的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PDE的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的范圍；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PF∥DE交直線AC于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B（﹣1，0），C（3，0），代入函數(shù)解析式得：

，

解得：

故拋物線解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：設(shè)DE與x軸交于點(diǎn)H，

∵DE∥y軸，AD=2CD，

∴ = = ，

∴DH=CH=1，

∴D（2，1），

∵點(diǎn)E在拋物線上，

∴E（2，3），

∵點(diǎn)P為x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，

∴﹣1＜t＜3，

∵△PDE的面積為S，

∴ DE|t﹣2|=S，

∴S=|t﹣2|（﹣1＜t＜3），

即當(dāng)﹣1＜t＜2時(shí)，S=2﹣t，

當(dāng)2＜t＜3時(shí)，S=t﹣2

（3）

解：如圖所示：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，

假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（h，﹣h2+2h+3），

∵PF∥DE，

∴PF=DE，

∴F（h，﹣h+3），

∴﹣h2+2h+3﹣（﹣h+3）=2，

∴h2﹣3h+2=0，

∴h1=1，h2=2，

∴拋物線上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．

【解析】（1）直接利用點(diǎn)B，C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析即可；（2）由AD=2CD，DE∥y軸，得出D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)直接寫出t的取值范圍；（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求出直線AC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)F坐標(biāo)，整理出關(guān)于h的方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，使以點(diǎn)P、F、E、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．