Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．
（1）求證：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵PD切⊙O于點D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE

（2）解：由（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB= ，

在Rt△POD中，cos∠POD= = ，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴ ，

∴OA=3，

∴⊙O半徑=3．

【解析】（1）本題可連接OD，由PD切⊙O于點D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果；（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果．