Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為－8．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．
①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數關系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作如圖所示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，求出對應的點P的坐標．

Answer 1

（1）（2）①15 ②

試題分析：解：（1）對于，當y=0，x=2.當x=—8時，y=—.
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為
由拋物線經過A、B兩點，得 
解得
（2）①設直線與y軸交于點M  當x=0時，y=. ∴OM=.
∵點A的坐標為（2，0），∴OA=2.∴AM=
∵OM：OA：AM=3∶4：5.
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.
∴DE：PE：PD=3∶4：5.
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點
∴PD=y_P-y_D=.
∴
②當點G落在y軸上時
由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，
所以
點評：該題主要考查學生對觀察圖形，判斷二次函數解析式開口、最值以及求解析式方法的掌握，同時考查在直角坐標系中對幾何圖形的應用。