Question

如圖，在直角坐標系中，點C（，0），點D（0，1），CD的中垂線交CD于點E，交y軸于點B，點P從點C出發沿CO方向以每秒個單位的速度運動，同時點Q從原點O出發沿OD方向以每秒1個單位的速度向點D運動，當點Q到達點D時，點P，Q同時停止運動，設運動的時間為秒。

（1）求出點B的坐標。
（2）當為何值時，△POQ與△COD相似？
（3）當點P在x軸負半軸上時，記四邊形PBEQ的面積為S，求S關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（4）在點P、Q的運動過程中，將△POQ繞點O旋轉180⁰，點P的對應點P′，點Q的對應點Q′，當線段P′Q′與線段BE有公共點時，拋物線經過P′Q′的中點，此時的拋物線與x軸正半軸交于點M。由已知，直接寫出：
①的取值范圍為                ；
②點M移動的平均速度是               。

Answer 1

（1）；（2）（3）y=（＜）；（4）①；②點M移動的平均速度為每秒個單位.

試題分析：（1）由題意得 ，由勾股定理得，證得≌，再結合垂直平分線的性質求解即可；
（2）分①當點P在軸的正半軸上時，②當點P在軸的負半軸上時，根據相似三角形的性質求解；
（3）由，根據三角形的面積公式求解即可；
（4）當與有公共點時，初始位置點P′與點A重合由已知得，，即可求得，根據終止位置點P′與點C重合，點Q′與點B重合，這時 ，從而可得t的范圍，設的中點為F，當時，，把代入得：，當時，把代入，得：，即可得到的取值范圍，則可得初始位置的拋物線為，此時，終止位置的拋物線為，此時，則，再根據移動的時間為秒即可求得結果.
（1）由題意得 ，由勾股定理得：


在與中
   
∴≌
∴BD=DC=2，    
∴BO=1
∴；
（2）①當點P在軸的正半軸上時，
由已知得，CP=，OP=CO－CP=，
由題意得：
即，解得；
②當點P在軸的負半軸上時

由題意得：
即，解得
綜上所述：當△POQ與△COD相似；
（3）=（＜）；
（4）當與有公共點時，初始位置點P′與點A重合

由已知得，
，解得
終止位置點P′與點C重合，點Q′與點B重合，這時    
∴
設的中點為F，當時，
把代入得：
當時 ，把代入，得：
∴的取值范圍為：
∴初始位置的拋物線為，此時
終止位置的拋物線為，此時
∴ 
∵移動的時間為秒，
∴點M移動的平均速度為每秒個單位.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．