Question

在函數中，我們規定：當自變量增加一個單位時，因變量的增加量稱為函數的平均變化率．例如，對于函數y＝3x＋1，當自變量x增加1時，因變量y＝3(x＋1)＋1＝3x＋4，較之前增加3，故函數y＝3x＋1的平均變化率為3．

（1）①列車已行駛的路程s（km）與行駛的時間t（h）的函數關系式是s＝300t，該函數的平均變化率是      ；其蘊含的實際意義是       ；
②飛機著陸后滑行的距離y（m）與滑行的時間x（s）的函數關系式是y＝－1.5x2＋60x，求該函數的平均變化率；
（2）通過比較（1）中不同函數的平均變化率，你有什么發現；
（3）如圖，二次函數y＝ax²＋bx＋c的圖像經過第一象限內的三點A、B、C，過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，AM⊥BE，垂足為M，BN⊥CF，垂足為N，DE＝EF，試探究△AMB與△BNC面積的大小關系，并說明理由．

Answer 1

（1）①300；列車的速度．②該函數的變化率為：－3x＋58.5
（2）一次函數的變化率是常量，二次函數的變化率是變量．
（3）S△AMB＜S△BNC

試題分析：（1）①當自變量t增加1時，s=300（t+1）=300t+300.所以平均變化率為300.
②該函數的變化率為：
－1.5(x＋1)²＋60(x＋1)－[－1.5x²＋60x]＝－3x＋58.5．
（2）一次函數的變化率是常量，二次函數的變化率是變量． 
（3）∵AM⊥BE，且AD、BE均垂直于x軸，
∴∠ADE＝∠DEM＝∠EMA＝90°，∴四邊形ADEM為矩形，
∴AM＝DE．同理可得BN＝EF．∵DE＝EF，∴AM＝BN．
設DE＝EF＝n(n＞0)，當x增加n時y增加了w．
則w＝a(x＋n)²＋b(x＋n)＋c－(ax²＋bx＋c)＝2anx＋an²＋bn
∵該二次函數開口向上，∴a＞0．
又∵n＞0，∴2an＞0．∴w隨x的增大而增大．即BM＜CN．
∵S△AMB＝AM·BM，S△BNC＝BN·CN，
∴S△AMB＜S△BNC．
點評：本題難度中等，主要考查學生對題干中所給示例分析總結規律的能力。為中考常考題型，要靈活應變。