Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F，點G為BC中點，連接EG、AF．

（1）求EG的長；

（2）求證：CF=AB+AF．

Answer 1

【答案】（1）EG=(2) 見解析

【解析】（1）根據BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根據勾股定理求出BC=2，根據CE⊥BE，點G為BC的中點即可求出EG；

（2）在線段CF上截取CH=BA，連接DH，根據BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，證出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根據AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，證出△ADF≌△HDF，即可得到答案．

（1）：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，

∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=，

∵CE⊥BE，

∠BEC=90°，

∵點G為BC的中點，

∴EG=BC=．

答：EG的長是．

（2）證明：在線段CF上截取CH=BA，連接DH，

∵BD⊥CD，BE⊥CE，

∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，

∵∠EFB=∠DFC，

∴∠EBF=∠DCF，

∵DB=CD，BA=CH，

∴△ABD≌△HCD，

∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠DBC=45°，

∴∠HDC=45°，∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°，

∴∠ADF=∠HDF，

∵AD=HD，DF=DF，

∴△ADF≌△HDF，

∴AF=HF，

∴CF=CH+HF=AB+AF，

∴CF=AB+AF．