Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，0是坐標原點，點A坐標為(2， 0)，點B坐標為(0， b) (b>0)， 點P是直線AB上位于第二象限內的一個動點，過點P作PC垂直于x軸于點C，記點P關于y軸的對稱點為Q.

(1)當b=1時:①求直線AB相應的函數表達式:②若，求點P的坐標:

(2)設點P的橫坐標為a，是否同時存在a、b，使得是等腰直角三角形?若存在，求出所有滿足條件的a、b的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②P（）；（2）存在，a=-2，b=2；或a=，b=1．

【解析】

（1）①由題意確定出B坐標，設直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標代入求出k與b的值，即可求出AB解析式；②由QO=QA以及OA的長，確定出Q橫坐標，根據P與Q關于y軸對稱，得出P橫坐標，代入直線AB解析式求出縱坐標，即可確定出P坐標；
（2）同時存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形，分兩種情況考慮：①若∠QAC=90°；②若∠AQC=90°，分別求出a與b的值即可．

解：（1）①當b=1時，B（0，1）

由A（2，0），B（0，1），
設直線AB解析式為，
把A與B坐標代入得：

，
解得：

則直線AB解析式為

②∵A（2，0），

∴ OA=2

∵QA=QO，OA=2，
∴Q點橫坐標為xQ=1，
∵點P關于y軸的對稱點為Q，
∴P點的橫坐標為xP=-1，
代入直線AB解析式，

得，
則P坐標得P（）
（2）①若∠QAC=90°，如圖1所示，

∴Q點的橫坐標為xQ=2，
∴P點的橫坐標為a=xP=-2，
∴AC=AQ=4，

∴Q（2，4）

即P（-2，4），

設直線AP的解析式為

將P（-2，4），A（2，0）代入得

解得
∴直線AP解析式為，
∴a=-2，b=2；
②如圖2，若∠AQC=90°且QA=QC時，過點Q作QH⊥x軸于點H

∴QH=CH=AH=AC，
∴P點的橫坐標為a，
∴Q點的橫坐標為-a，
Q的橫坐標 ，解得a= ，-a=
Q的縱坐標QH=AC==
∴Q（ ， ），P（ ， ）
設直線AP的解析式為

將P（ ， ），A（2，0）代入得

解得

∴直線AP解析式為，

∴b=1，
∴a=，b=1，
綜上所示，∴a=-2，b=2；或a=，b=1．