Question

【題目】如圖，已知OM⊥ON，垂足為O，點A、B分別是射線OM、ON上的一點（O點除外）．

（1）如圖①，射線AC平分∠OAB，是否存在點C，使得BC所在的直線也平分以B為頂點的某一個角α（0°＜α＜180°），若存在，則∠ACB＝　 　；

（2）如圖②，P為平面上一點（O點除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分別畫∠OAP、∠OBP的平分線AD、BE，交BP、OA于點D、E，試簡要說明AD∥BE的理由；

（3）在（2）的條件下，隨著P點在平面內運動，AD、BE的位置關系是否發生變化？請利用圖③畫圖探究，如果不變，直接回答；如果變化，畫出圖形并直接寫出AD、BE位置關系．

Answer 1

【答案】（1）存在；45°或135°；（2）詳見解析；（3）點P一直在以AB為直徑的圓上，當P在直徑AB的上方時，如圖2，有AD∥BE，當P在直徑AB的下方時，如圖3，有AD⊥BE，

【解析】

（1）分兩種情況討論：①先根據垂直的定義可得：∠AOB＝90°，再根據角平分線的定義得：∠ABC+∠BAC＝（∠ABO+∠BAO）＝45°，由三角形內角和定理可得結論；②根據三角形外角的性質和角平分線的定義，可得結論；

（2）證明∠OAD＝∠OEB，可得：AD∥BE；

（3）先根據∠AOB＝∠APB＝90°，證明O、A、P、B四點共圓，即點P一直在以AB為直徑的圓上，通過畫圖可知：當P在直徑AB的上方時，如圖2，有AD∥BE，當P在直徑AB的下方時，如圖3，有AD⊥BE．

解：（1）存在，

有兩種情況：①當BC平分∠ABO時，如圖1，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BAO+∠ABO＝90°，

∵AC平分∠BAO，BC平分∠ABO，

∴∠BAC＝，∠ABC＝∠ABO，

∴∠BAC+∠ABC＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；

②如下圖，當CB平分∠ABN時，

∵∠ABN＝90°+∠BAO，

∵AC平分∠BAO，

∴2∠ABE＝90°+2∠CAB，

∴∠ABE＝45°+∠CAB，

∴∠ACB＝∠ABE﹣∠CAB＝45°，

綜上，∠ACB的度數為45°或135°；

故答案為：45°或135°；

（2）如圖2，∵∠AOB＝∠P＝90°，

∴∠OAP+∠OBP＝180°，

∴∠OAP+∠OBP＝90°，

∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，

∴∠OAD＝∠OAP＝90°﹣，∠OBE＝∠OBP，

∵∠OBE+∠OEB＝90°，

∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝90°﹣∠OBP，

∴∠OAD＝∠OEB，

∴AD∥BE；

（3）∵∠AOB＝∠APB＝90°，

∴點P一直在以AB為直徑的圓上，

當P在直徑AB的上方時，如圖2，有AD∥BE，

當P在直徑AB的下方時，如圖3，有AD⊥BE，

理由是：∵∠OAP＝∠OBP，

∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP，

∴∠PAD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP，

∴∠PAD＝∠DBE，

∵∠ADP＝∠BDG，

∴∠APB＝∠AGB，

∴AD⊥BE．