Question

【題目】已知：直線EF//MN，點A、B分別為EF，MN上的動點，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于D．

（1）若∠FDB=120°，a=90°．如圖1，求∠MBC與∠EAC的度數(shù)？

（2）延長AC交直線MN于G，這時a =80°，如圖2，GH平分∠AGB交DB于點H，問∠GHB是否為定值，若是，請求值．若不是，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）60°，30°；（2）為定值50°．

【解析】

（1）過C作CP∥EF，進而得到EF∥MN∥CP，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出∠DBN的度數(shù)，進而求出∠MBC、∠EAC的度數(shù)；

（2）根據(jù)∠CBN是△CBG的外角，得到∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．根據(jù)角平分線的定義得到∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．由三角形外角的性質(zhì)得到∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG，即可得出結(jié)論．

（1）如圖1，過C作CP∥EF．

∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．

∵EF∥MN，∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．

∵BD平分∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．

∵CP∥MN，∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－60°=30°．

∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°．

（2）∠GHB為定值50°．理由如下：

∵∠CBN是△CBG的外角，∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．

∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，∴∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．

∵∠DBN是△HGB的外角，∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG（180°－80°）=50°，故∠GHB是定值50°．