Question

【題目】已知點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F．
（1）如圖1，當點P為AB的中點時，連接AF，BE．求證：四邊形AEBF是平行四邊形；
（2）如圖2，當點P不是AB的中點，取AB的中點Q，連接EQ，FQ．試判斷△QEF的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵點Q為AB中點，∴AQ=BQ．

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ．

在△BFQ和△AEQ中，

，

∴△BFQ≌△AEQ（AAS）．

∴QE=QF．

∴四邊形AEBF是平行四邊形

（2）證明：△QEF是等腰三角形，如圖2，

延長FQ交AE于點D，

由（1）知AE∥BF，

∴∠QAD=∠FBQ．

在△FBQ和△DAQ中，

，

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD．

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，

∴QE=QF=QD，即QE=QF，

∴△QEF是等腰三角形

【解析】（1）結合已知證明△BFQ≌△AEQ，進一步得到對角線互相平分即可；（2）延長FQ交AE于點D，證明△FBQ≌△DAQ，結合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可．