Question

【題目】已知，如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，A′B′交BC于點E，A′D′交CD于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的對角線長為4，求兩個正方形重疊部分的面積為

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O

∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，

∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于點E，A'D'交CD于點F．

∴∠EOF=90°

∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∴∠BOE=∠COF．

在△OBE和△OCF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA）．

∴OE=OF

（2）2
【解析】（2）解：∵△BOE≌△COF， ∴S△BOE=S△COF
∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE ，
即S四邊形OECF=S△BOC ．
∵S△BOC=2，
∴兩個正方形重疊部分的面積為2．
故答案為：2．
（1）由正方形的性質可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性質就可以得出OE=OF；（2）由全等可以得出S△BOE=S△COF ， 就可以得出S四邊形OECF=S△BOC ， S△BOC的面積就可以得出結論．