Question

如圖，已知二次函數的圖象過點.

（1）求二次函數的解析式；
（2）求證：是直角三角形；
（3）若點在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點作垂直軸于點，試探究是否存在以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標.若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）二次函數的解析式
（2）可證明,即有△ACB是直角三角形
（3）存在合條件的P點的坐標為（），（）

試題分析：解: ∵二次函數的圖象

過點A(－4,3),B(4,4)，

∴ 
（2）易知C點的坐標為(-2,0), D的坐標為（），  
過B作BM軸于點M,     ∴,        
類似的可得， ,
∴,即有△ACB是直角三角形.  
（3）存在以P、H、D三點為頂點的三角形與△ABC相似.  
設P的坐標為（），易得，則， 
①當時, ∽，
即，    ∴ .
而，∴.
∵，，∴，
解得，則，P點的坐標為() 
②當時, ∽，
即，∴ .
而，∴.
同理可得：解得，則，P點的坐標為()
故合條件的P點的坐標為（），（）.  
點評：本題難度較大，主要考查學生對拋物線及相似三角形綜合應用能力。為中考常考題型，解決拋物線問題時注意分析已知點坐標與函數式關系為解題關鍵。