Question

已知拋物線y=a（x﹣m）²+n與y軸交于點A，它的頂點為點B，點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．

（1）如圖1，求拋物線y=（x﹣2）²+1的伴隨直線的表達式．
（2）如圖2，若拋物線y=a（x﹣m）²+n（m＞0）的伴隨直線是y=x﹣3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的表達式．
（3）如圖3，若拋物線y=a（x﹣m）²+n的伴隨直線是y=﹣2x+b（b＞0），且伴隨四邊形ABCD是矩形．用含b的代數式表示m、n的值.

Answer 1

（1）拋物線y=（x﹣2）²+1的伴隨直線的表達式為 
（2）拋物線的表達式為
（3）， .                           

試題分析：（1）由題意可知：A(0，5)，B(2，1)，                     
設伴隨直線AB的表達式為，
∴
解得
∴拋物線y=（x﹣2）²+1的伴隨直線的表達式為.      
（2）令，得，∴A(0，-3)，
由題意可知：頂點B(m，n)在伴隨直線y=x﹣3上，
∴n=m-3，
∴B(m，m-3)，                                         

∵點A、B關于原點O的對稱點分別為C、D，
∴C(0，3) ，D(-m，-m+3)，
過點B作軸于點E.
∵ m＞0，
∴ ，
∵伴隨四邊形ABCD的面積為12，
∴，
∴，
∴，                                            
∴B(2，-1)，
∴ ，
把A(0，-3)代入中，
得：，
∴拋物線的表達式為.                 

（3）∴伴隨直線AB；y=﹣2x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點F (，0) ，A(0，b)，
∴C(0，-b)
∵伴隨四邊形ABCD是矩形，
∴頂點B(m，n)在y軸右側的直線y=﹣2x+b上，
∠ABC＝90º，
∴B(m，-2m+b)，
過點B作軸于點E.
∴E(0，-2m+b)，
∴tan=tan，或證△ABE∽△BCE     
∴，
∴，                                       
∴.                           
點評：本題考查一次函數，二次函數，矩形，解答本題的關鍵是用待定系數法求一次函數，二次函數的解析式子，熟悉矩形的性質，本題難度較大