Question

【題目】猜想歸納：為了建設經濟型節約型社會，“先鋒”材料廠把一批三角形廢料重新利用，因此工人師傅需要把它們截成不同大小的正方形鐵片．(已知：AC＝40，BC＝30，∠C＝90°)

(1)如圖①，若截取△ABC的內接正方形DEFG，請你求出此正方形的邊長；

(2)如圖②，若在△ABC內并排截取兩個相同的正方形(它們組成的矩形內接于△ABC)，請你求此正方形的邊長；

(3)如圖③，若在△ABC內并排截取三個相同的正方形(它們組成的矩形內接于△ABC)，請你求此正方形的邊長；

(4)猜想：如圖④，假設在△ABC內并排截取n個相同的正方形，使它們組成的矩形內接于△ABC，則此正方形的邊長是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

（1）根據題意畫出圖形，作CN⊥AB，再根據GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由平行得到兩對同位角相等，進而得到兩三角形相似，設出正方形的邊長為x，根據相似三角形的性質得到比例式，進而列出關于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的邊長；

（2）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據對應邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長；

（3）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據對應邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長；

（4）同理可得正方形的邊長．

（1）在圖1中作△ABC的高CN交GF于M．在Rt△ABC中，∵AC=40，BC=30，∴AB=50，CN==24．

由GF∥AB，得：△CGF∽△CAB，∴．

設正方形的邊長為x，則，解得：．

即正方形的邊長為．

（2）方法同（1），如圖2．

△CGF∽△CAB，則．

設小正方形的邊長為x，則，解得：．

即小正方形的邊長為．

（3）在圖3中，作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N．

∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴=，設每個正方形的邊長為x，則=，∴x=；

（4）設每個正方形的邊長為x，同理得到：

則=，則x=，∴每個小正方形的邊長為．