Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經過A，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在AC上方的拋物線上有一動點P．
①如圖1，當點P運動到某位置時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標；

②如圖2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=x+4經過A，C兩點，

∴A點坐標是（﹣4，0），點C坐標是（0，4），

又∵拋物線過A，C兩點，

∴ ，解得： ，

∴拋物線的解析式為 ．

（2）

解：①如圖1

∵ ，

∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1．

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=4．

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關于直線x=﹣1對稱，

∴P點的橫坐標是﹣3，

∴當x=﹣3時， ，

∴P點的坐標是 ；

②過P點作PF∥OC交AC于點F，

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

設點F（x，x+4，

∴ ，

化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．

當x=﹣1時， ；當x=﹣3時， ，

即P點坐標是 或 ．

又∵點P在直線y=kx上，

∴ ．

【解析】（1）由直線的解析式y=x+4易求點A和點C的坐標，把A和C的坐標分別代入y=﹣ x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標，問題得解；
②過P點作PF∥OC交AC于點F，因為PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出PF的長，進而可設點點F（x，x+4），利用 ，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標，代入直線y=kx即可求出k的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．