Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC=12cm，BD=16cm，動點N從點D出發，沿線段DB以2cm/s的速度向點B運動，同時動點M從點B出發，沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，當其中一個動點停止運動時另一個動點也隨之停止，設運動時間為t（s）（t＞0），以點M為圓心，MB長為半徑的⊙M與射線BA，線段BD分別交于點E，F，連接EN．
（1）求BF的長（用含有t的代數式表示），并求出t的取值范圍；
（2）當t為何值時，線段EN與⊙M相切？
（3）若⊙M與線段EN只有一個公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接MF．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，

在Rt△AOB中，AB= =10，

∵MB=MF，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，

∴MF∥AD，

∴ = ，

∴ = ，

∴BF= t（0＜t≤8）．

（2）解：當線段EN與⊙M相切時，易知△BEN∽△BOA，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ．

∴t= s時，線段EN與⊙M相切．

（3）解：①由題意可知：當0＜t≤ 時，⊙M與線段EN只有一個公共點．

②當F與N重合時，則有 t+2t=16，解得t= ，

關系圖象可知， ＜t＜8時，⊙M與線段EN只有一個公共點．

綜上所述，當0＜t≤ 或 ＜t＜8時，⊙M與線段EN只有一個公共點．

【解析】（1）連接MF．只要證明MF∥AD，可得 = ，即 = ，解方程即可；（2）當線段EN與⊙M相切時，易知△BEN∽△BOA，可得 = ，即 = ，解方程即可；（3）①由題意可知：當0＜t≤ 時，⊙M與線段EN只有一個公共點．②當F與N重合時，則有 t+2t=16，解得t= ，觀察圖象即可解決問題；