Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點M是AC的中點，延長BM至點D，使DM=BM，連接AD．

（1）如圖①，求證：△DAM≌△BCM；

（2）已知點N是BC的中點，連接AN．

①如圖②，求證：△BCM≌△ACN；

②如圖③，延長NA至點E，使AE=NA，連接DE．求證：BD⊥DE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析.

【解析】

(1)利用SAS進行證明即可；

(2)由點M是AC的中點，點N是BC的中點，AC=BC，可得CM=CN，繼而利用SAS進行證明即可；

②取AD中點F，連接EF，則AD=2AF，由△BCM≌△ACN，△DAM≌△BCM，可推導得出AF=CN，∠EAF=∠ANC，根據SAS可證明△EAF≌△ANC，從而可得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，進而可得∠AFE=∠DFE=90°，繼而可以證明△AFE≌△DFE，則有∠EAD=∠EDA=∠ANC，繼而可得∠EDB=90°，問題得證.

(1)∵點M是AC的中點，∴AM=CM，

在△DAM和△BCM中，

∵，∴△DAM≌△BCM(SAS)；

(2)①∵點M是AC的中點，點N是BC的中點，∴CM=AC，CN=BC，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴CM=CN，

在△BCM和△ACN中，∵，∴△BCM≌△ACN(SAS)；

②取AD中點F，連接EF，

則AD=2AF，

∵△BCM≌△ACN，∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，

∵△DAM≌△BCM，∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN，

∴AF=CN，∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，

∴AD∥BC，∴∠EAF=∠ANC．

在△EAF和△ANC中，∵，∴△EAF≌△ANC(SAS)，

∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DFE=90°，

∵F為AD的中點，∴AF=DF，

在△AFE和△DFE中，，

∴△AFE≌△DFE(SAS)，

∴∠EAD=∠EDA=∠ANC，

∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°–∠DAM=180°–90°=90°，

∴BD⊥DE．