Question

【題目】如圖（1），已知拋物線E：y=ax2+bx+c與x軸交于A，B（3，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，3），對稱軸為直線x=1．

（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　；

（2）將拋物線E向下平移d個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），求d的取值范圍；

（3）如圖（2），設點P是拋物線E上任意一點，點H在直線x=﹣3上，△PBH能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，請求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣1，2，3；（2）d的范圍為2≤d≤4；（3）P（1，4）或（0，3）或（）或（）

【解析】

（1）先確定出點A坐標，最后用待定系數法即可得出結論；

（2）先求出直線BC解析式，再確定出頂點坐標（1，4），最后根據平移即可得出結論；

（3）分兩種情況，利用全等三角形的對應邊相等，建立方程求解即可得出結論．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，B（3，0），

∴A（﹣1，0），

∵點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）在拋物線上，

∴

故答案為：﹣1，2，3；

（2）∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∵a=﹣1，b=2，c=3，

∴拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線E的頂點坐標為（1，4），

∵對于直線y=﹣x+3，

當x=1時，y=2，

∵拋物線E向下平移d個單位，

∴當d=2時，拋物線的頂點落在BC上，

當d=4時，拋物線的頂點落在OB上，

∴d的范圍為2≤d≤4；

（3）設P（m，﹣m2+2m+3），H（﹣3，n），

①當點P在x軸上方時，如圖（2），過點P作PE⊥直線x=﹣3于E，過點B作BF⊥EP交EP的延長線于F，

∵B（3，0），△PBH是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，

∴∠BPH=90°，BP=PH，

∴∠EPH=∠FBP，

∴△PHE≌△BPE，

∴PE=BF，

∵PE=BF=﹣m2+2m+3，PF=3﹣m，且PE=PF=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，

∴m=1或m=0，

∴P（1，4）或（0，3）；

②當點P在x軸下方時，如圖（1），

過點P作PG⊥直線x=﹣3于G，過點B作BK⊥GP交GP的延長線于K，

易知，△PHG≌△BPK，

∴PG=BK，

∴PG=6﹣（3﹣m）=m+3，BK=m2﹣2m﹣3，

∴m+3=m2﹣2m﹣3，

∴

∴或.

即：P（1，4）或（0，3）或或