Question

【題目】已知矩形ABCD，點P為BC邊上一動點，連接AP，將線段AP繞P點順時針旋轉90°，點A恰好落在直線CD上點E處．
（1）如圖1，點E在線段CD上，求證：AD+DE=2AB；

（2）如圖2，點E在線段CD的延長線上，且點D為線段CE的中點，在線段BD上取點F，連接AF、PF，若AF=AB．求證：∠APF=∠ADB．

（3）如圖3，點E在線段CD上，連接BD，若AB=2，BD∥PE，則DE= ． （直接寫出結果）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠BAP+∠APB=90°，

∵∠APE=90°，

∴∠APB+∠CPE=90°，

∴∠BAP=∠CPE，

在△ABP和△PCE中， ，

∴△ABP≌△PCE，

∴AB=PC=CD，BP=CE，

∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB

（2）

解：如圖，

∵AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

∵AB∥DC，

∴∠ABF=∠BDC，

∴∠AFB=∠BDC，

∴∠AFD=∠EDF，

∵AB=CD=DE，AB∥CD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴BD∥AE，

∵PA=PE，∠APE=90°，

∴∠PAE=∠PEA=45°，

∴∠PMN=∠PNM=45°，

∵BD∥AE，

∴∠FAE+∠AFD=180°，∠FDE+∠AED=180°，

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠FAE=∠DEA，

∵∠PAE=∠PEA，

∴∠FAP=∠DEP，

在△APF和△EPD中， ，

∴△APF≌△EPD，

∴∠AFP=∠DEP，

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠PFD=∠PDF，

在Rt△PCD中，PC=PD，

∴∠CDP=45°，

∴∠ADP=45°，

∴∠ADB=45°﹣∠PDF=45°﹣∠PFD，

∵∠AMB=∠PFD+∠APF=45°，

∴∠APF=45°﹣∠PFD，

∴∠APF=∠ADB

（3）3﹣
【解析】解：（3）由（1）知，△ABP≌△PCE，
∴PC=AB=2，由（1）知，AD+DE=2AB=4，
∴AD=4﹣DE，
∵DB∥PE，
∴△CPE∽△CBD，
∴ ，
∵CB=AD=4﹣DE，CD=AB=2，CE=CD﹣DE=2﹣DE，
∴ ，
∴DE=3+ （由于點E在線段CD上，且CD=2，所以舍去）或DE=3﹣ ，
即：DE=3﹣ ，
所以答案是：3﹣ ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外角的相關知識，掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．