Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣ ），點(diǎn)M是拋物線C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的頂點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），且m≠0，

∴當(dāng)y=0時(shí)，可得m（x﹣3）（x+1）=0，解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）

解：設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

則有 ，解得 ，

∴拋物線C1解析式為y= x2﹣x﹣ ，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，

設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，則有 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣ ，

設(shè)P（x， x2﹣x﹣ ），則Q（x， x﹣ ），

∴PQ= x﹣ ﹣（ x2﹣x﹣ ）=﹣ x2+ x，

∴S△PBC= PQOB= ×（﹣ x2+ x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)x= 時(shí)，S△PBC有最大值，S最大= ，

×（ ）2﹣ ﹣ =﹣ ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣ ）．

【解析】（1）把拋物線解析整理，令y=0可求得x的值，則可求得A、B的坐標(biāo)；（2）由A、B、C的坐標(biāo)，可求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式，連接BC、過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于點(diǎn)Q，由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，則可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得PQ的長(zhǎng)，從而用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC面積的最大值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．