Question

【題目】如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．
（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），直接寫出線段AD與NE的數量關系為 ．

（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），判斷△ACN是什么特殊三角形并說明理由．

（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置，此時A，B，M三點在同一直線上．若AC=3 ，AD=1，則四邊形ACEN的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）AD=NE
（2）解：（2）結論：△ACN為等腰直角三角形．

理由，如圖2，

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三點在同一直線上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形

（3）
【解析】解：（1）結論：AD=NE．

理由：如圖1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵點M為DE的中點，

∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，

．

∴△ADM≌△NEM．

∴AD=NE．

解：（3）如圖3中，連接CM．

∵AD∥NE，M為中點，

∴易得△ADM≌△NEM，

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE，

∵AD∥NE，

∴AF⊥NE，

在四邊形BCEF中，

∵∠BCE=∠BFE=90°

∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+∠ABC=180°

∴∠ABC=∠FEC

在△ABC和△NEC中，

，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形，

由（1）可知，△AMD≌△NME，

∴AM=MN，AD=NE=1，

∴CM⊥AN，AM=CM=MN，

∵AC=3 ，

∴AM=CM=MN=3，

∴S四邊形ACNE=S△AMC+S直角梯形MNEC= ×3×3+ ×（3+1）×3= ．

所以答案是 ．

【考點精析】通過靈活運用旋轉的性質，掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．