Question

【題目】如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在EF上，設∠ADE=α（0°＜α＜90°），當α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積（ ）
A.由小變大
B.由大變小
C.不變
D.先由小變大，后由大變小

Answer 1

【答案】C
【解析】解：連接CD，

在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，

∵D為AB的中點，

∴AD=BD=CD，CD平分∠ACB，

過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N，

∵CD平分∠ACB，

∴DM=DN，

∵∠DMC=∠ACB=∠DNC=90°，

∴四邊形CMDN為正方形，

∴∠MDN=90°，

∵∠EDF=90°，

∴∠GDM=∠NDH，

∴∠GDM≌△HDN，

∴S△GDM=S△HDN，

∴S四邊形CGDH=S正方形CMDN=CM2=（ AC）2= AC2，

∴四邊形CGDH的面積為定值，

∴S陰影=S扇形DEF﹣S四邊形CGDH，

∵扇形DEF的圓心角為90°，半徑為CD，

∴扇形DEF的面積為定值，

∴當α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積不變．

故選C．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和扇形面積計算公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．