Question

【題目】如圖1，反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2 ，1），射線AB與反比例函數(shù)圖象交與另一點(diǎn)B（1，a），射線AC與y軸交于點(diǎn)C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求k和a的值；
（2）直線AC的解析式；
（3）如圖3，M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，過M作直線l⊥x軸，與AC相交于N，連接CM，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（2 ，1）代入y= ，可得k=2 ×1=2 ，

∴反比例函數(shù)解析式為y= ，

把B（1，a）代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)= ，可得a=2

（2）

解：作BH⊥AD于H，如圖2，

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2 ），

∴AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∵AD=2 ，設(shè)CD=x，則AC=2x，

∴由勾股定理可得CD=2，AC=4，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

把A（2 ，1），C（0，﹣1）代入可得

，解得 ，

∴直線AC解析式為y= x﹣1

（3）

解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（t， ）（0＜t＜1），

∵直線l⊥x軸，與AC相交于點(diǎn)N，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（t， t﹣1），

∴MN= ﹣（ t﹣1）= ﹣ t+1，

∴S△CMN= t（ ﹣ t+1）=﹣ t2+ t+ ，

∴當(dāng)t=﹣ = 時，S有最大值，最大值為

【解析】（1）把A點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式可求得k，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得a的值；（2）過B作BH⊥AD于H，由A、B坐標(biāo)可得出△ABH為等腰直角三角形，由條件可求得∠DAC=30°，在△ACD中，由勾股定理可求得CD、AC，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；（3）可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)為（t， ），從而可表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，則可用t表示出MN的長，則可用t表示出△CMN的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點(diǎn)，以及對反比例函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解性質(zhì):當(dāng)k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．