Question

【題目】如圖，在△ABF中，以AB為直徑的圓分別交邊AF、BF于C、E兩點，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分線，

（1）求證：直線CD是⊙O的切線．
（2）求證：△FEC是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，則∠CAO=∠ACO，

又∠FAC=∠CAO

∴∠FAC=∠ACO，

∴AF∥CO，

而CD⊥AF，

∴CO⊥CD，

即直線CD是⊙O的切線

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°

又∠FAC=∠CAO

∴AF=AB（三線合一），

∴∠F=∠B，

∵四邊形EABC是⊙O的內接四邊形，

∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°

∴∠FEC=∠B

∴∠F=∠FEC，

即EC=FC

所以△FEC是等腰三角形．

【解析】（1）先判斷出∠FAC=∠ACO，進而得出AF∥CO，即可得出結論；（2）先用等腰三角形的三線合一得出AF=AB．再用同角的補角相等得出∠FEC=∠B 即可得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的判定和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．