Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB為垂直于底邊的腰，AD=1，BC=2，AB=3，點E為CD上異于C，D的一個動點，過點E作AB的垂線，垂足為F，△ADE，△AEB，△BCE的面積分別為S₁，S₂，S₃．

（1）設AF=x，試用x表示S₁與S₃的乘積S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）設=t，試用t表示EF的長；
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，S₂²=4S₁S₃．

Answer 1

解：（1）∵S₁=AD•AF=x，S₃=BC•BF=×2×（3﹣x）=3﹣x，
∴（0＜x＜3）。
∴當x= 時，S₁S₃的最大值為。
（2）如圖，作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點N，

∵=t，∴AF=tFB。
∵△DNE∽△DMC ，BM=MC=AD=1，
∴。∴NE=，
∴EF=FN+NE=1+。
（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，∴FB=。∴AF=tFB=。
∴S₁=AD•AF=×=，S₃=BC•FB=×2×=，
S₂=AB•FE=×3×=。
∴S₁S₃=，S₂²=。
∴=4×，即4t²﹣4t+1=0，解得t=。
∴當t=時，S₂²=4S₁S₃。

試題分析：（1）直接根據三角形的面積公式解答即可。
（2）作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點N，根據=t，可知AF=tFB，再由△DNE∽△DMC 和BM=MC=AD=1可得出，所以NE=，根據EF=FN+NE即可得出結論。
（3）根據AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根據三角形的面積公式可用t表示出S₁，S₃，S₂，由s₂²=4S₁S₃．即可得出t的值。