Question

（1）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E、F為BC上兩點，且BE=CF，AF=DE．
求證：①△ABF≌△DCE；②四邊形ABCD是矩形．
（2）如圖2，已知△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD．
①請用尺規作圖的方法，過點D作DM⊥BE，垂足為M；（不寫作法，保留作圖痕跡）
②求證：BM=EM．

Answer 1

分析：（1）①通過全等三角形的判定定理SSS證得△ABF≌△DCE，
②由①中的全等三角形得到對應角∠B=∠C，結合平行四邊形的性質可以證得∠B=∠C=90°，故該平行四邊形是矩形；
（2）①按照過直線外一點作已知直線的垂線步驟做；
②先根據D點AC的中點及等邊三角形三線合一的性質得出∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB，由CE=CD可得出BD=DE，進而可得出△BDE是等腰三角形，由DM⊥BE即可得出結論．

解答：（1）證明：①如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=CD．
∵BE=CF，
∴BF=CE，
∴在△ABF與△DCE中，

AB=CD BF=CE AF=DE

，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
②由①知，△ABF≌△DCE，則∠B=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形；

（2）①如圖2所示：
②如圖2，∵△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB，
又∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE=

1

2

∠ACB，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．

點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質，矩形的判定以及等邊三角形的性質，熟知等邊三角形三線合一的性質是解答（2）題的關鍵．