Question

（2012•河南）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整．
原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G．若

AF

EF

=3，求

CD

CG

的值．

（1）嘗試探究
在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是

AB=3EH

，CG和EH的數量關系是

CG=2EH

，

CD

CG

的值是

3

2

．
（2）類比延伸
如圖2，在原題的條件下，若

AF

EF

=m（m＞0），則

CD

CG

的值是

m

2

（用含有m的代數式表示），試寫出解答過程．
（3）拓展遷移
如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F．若

AB

CD

=a，

BC

BE

=b，（a＞0，b＞0）
，則

AF

EF

的值是

ab

（用含a、b的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）本問體現“特殊”的情形，

AF

EF

=3是一個確定的數值．如答圖1，過E點作平行線，構造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質，分別將各相關線段均統一用EH來表示，最后求得比值；
（2）本問體現“一般”的情形，

AF

EF

=m不再是一個確定的數值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．
（3）本問體現“類比”與“轉化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉化到梯形中，如答圖3所示．

解答：解：（1）依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如右圖1所示．
則有△ABF∽△HEF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

=3，∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，
又∵E為BC中點，∴EH為△BCG的中位線，∴CG=2EH．

CD

CG

=

AB

CG

=

3EH

2EH

=

3

2

．
故填空答案：AB=3EH；CG=2EH；

3

2

．

（2）如右圖2所示，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．
∴

AB

EH

=

AF

EF

=m，∴AB=mEH．
∵AB=CD，∴CD=mEH．…5分
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
∴

CG

EH

=

BC

BE

=2，∴CG=2EH．…6分
∴

CD

CG

=

mEH

2EH

=

m

2

．
故填空答案：

m

2

．

（3）如右圖3所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，
∴

CD

EH

=

BC

BE

=b，∴CD=bEH．
又

AB

CD

=a，∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

AB

EH

=

abEH

EH

=ab，
故填空答案：ab．

點評：本題的設計獨具匠心：由平行四邊形中的一個特殊的例子出發（第1問），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉化到梯形中去（第3問）．各種圖形雖然形式不一，但運用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構造相似三角形，得到線段之間的比例關系，這個比例關系均統一用同一條線段來表達，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現了初中數學的類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，有利于學生觸類旁通、舉一反三．