Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，E恰為BC的中點，tanB=2．

（1）求證：AD=AE；
（2）如圖2，點P在線段BE上，作EF⊥DP于點F，連接AF，求證：DF-EF=

2

AF；
（3）請你在圖3中畫圖探究：當P為射線EC上任意一點（P不與點E重合）時，作EF垂直直線DP，垂足為點F，連接AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數量關系？直接寫出你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先根據∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中點，結合平行四邊形的對邊相等即可得證．
（2）此題要通過構造全等三角形來求解；作GA⊥AF，交BD于G，通過證△AFE≌△AGD，來得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得證．
（3）輔助線作法和解法同（2），只不過結論有所不同而已．

解答：（1）證明：∵tanB=2，
∴AE=2BE；
∵E是BC中點，
∴BC=2BE，
即AE=BC；
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，則AD=BC=AE；

（2）證明：作AG⊥AF，交DP于G；（如圖2）
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DPC；
∵∠AEP=∠EFP=90°，
∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°，
即∠ADG=∠AEF=∠FPE；
又∵AE=AD，∠FAE=∠GAD=90°-∠EAG，
∴△AFE≌△AGD，
∴AF=AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；
∴FG=

2

AF，且DF=DG+GF=EF+FG，
故DF-EF=

2

AF；

（3）解：如圖3，
①當EP≤2BC時，DF+EF=

2

AF，解法同（2）．
②當EP＞2BC時，EF-DF=

2

AF．

點評：此題主要考查的是平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，難度適中，正確地構造出全等三角形是解答此題的關鍵．