Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，AC=CD．
（1）求證：∠D=∠ACB；
（2）若點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩點(diǎn)，且∠EAF=∠CAD．（如圖2）
①求證：△ADF∽△ACE；
②求證：AE=EF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到∠BCA=∠CAB，由等邊對等角可得到∠CAD=∠D，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)利用SAS可判定△BCA≌△DAC，由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）①根據(jù)兩組邊對應(yīng)成比例且其夾角相等的兩個三角形相似即可得到結(jié)論．
②由△ADF∽△ACE可得到對應(yīng)邊成比例，已知∠EAF=∠CAD從而可推出△AEF∽△ACD，已知AC=CD，根據(jù)對應(yīng)成比例不難得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AC=CD，
∴∠D=∠CAD．（1分）
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC．
∴∠CAD=∠ACB．（1分）
∴∠D=∠ACB．（1分）

（2）①∵∠EAF=∠CAD，
∴∠DAF=∠CAE．（2分）
又∵∠D=∠ACB，（1分）
∴△ADF∽△ACE．（2分）
②∵△ADF∽△ACE，
∴

AD

AF

=

AC

AE

．（1分）
∵∠EAF=∠CAD，
∴△AEF∽△ACD．（1分）
∴

AE

EF

=

AC

CD

．（1分）
又∵AC=CD，
∴AE=EF．（1分）

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法的綜合運(yùn)用．