Question

【題目】如圖，已知拋物線（＞0）與軸交于A，B兩點（A點在B點的左邊），與軸交于點C。

（1）如圖1，若△ABC為直角三角形，求的值；

（2）如圖1，在（1）的條件下，點P在拋物線上，點Q在拋物線的對稱軸上，若以BC為邊，以點B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐標；

（3）如圖2，過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點D，交軸交于點E，若AE:ED＝1:4，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為 ；（3）.

【解析】

（1）利用三角形相似可求AOOB，再由一元二次方程根與系數關系求AOOB構造方程求n；

（2）求出B、C坐標，設出點Q坐標，利用平行四邊形對角線互相平分性質，分類討論點P坐標，分別代入拋物線解析式，求出Q點坐標；

（3）設出點D坐標（a，b），利用相似表示OA，再由一元二次方程根與系數關系表示OB，得到點B坐標，進而找到b與a關系，代入拋物線求a、n即可．

（1）若△ABC為直角三角形

∴△AOC∽△COB

∴OC2=AOOB

當y=0時，0=x2-x-n

由一元二次方程根與系數關系

-OAOB=OC2

n2=＝2n

解得n=0（舍去）或n=2

∴拋物線解析式為y=；

（2）由（1）當=0時

解得x1=-1，x2=4

∴OA=1，OB=4

∴B（4，0），C（0，-2）

∵拋物線對稱軸為直線x=-＝

∴設點Q坐標為（，b）

由平行四邊形性質可知

當BQ、CP為平行四邊形對角線時，點P坐標為（，b+2）

代入y=x2-x-2

解得b=，則P點坐標為（，）

當CQ、PB為為平行四邊形對角線時，點P坐標為（-，b-2）

代入y=x2-x-2

解得b=，則P坐標為（-，）

綜上點P坐標為（，），（-，）；

（3）設點D坐標為（a，b）

∵AE：ED=1：4

則OE=b，OA=a

∵AD∥AB

∴△AEO∽△BCO

∵OC=n

∴

∴OB=

由一元二次方程根與系數關系得，

∴b=a2

將點A（-a，0），D（a，a2）代入y=x2-x-n

解得a=6或a=0（舍去）

則n= .