Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，以線段為邊在第四象限內作等邊三角形，點為正半軸上一動點， 連接，以線段為邊在第四象限內作等邊三角形，連接并延長，交軸于點．

(1)求證：≌；

(2)在點的運動過程中，的度數是否會變化?如果不變，請求出的度數；如果變化，請說明理由．

(3)當點運動到什么位置時，以為頂點的三角形是等腰三角形?

Answer 1

【答案】詳見解析；的度數不會變化，；當點運動到時．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得BO=BA，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，進而可利用SAS證明≌；

（2）設BC、DE交于點F，如圖1，根據全等三角形的性質可得∠1=∠2，根據三角形的內角和定理可得∠CAD=∠CBD，進而可得結論；

（3）易求得∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，即得以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰，然后根據30°角的直角三角形的性質可得AE的長，進而可得AC、OC的長，即可得出點C的位置．

解：（1）證明：∵△AOB、△BCD是等邊三角形，

∴BO=BA，BC=BD，∠OBA=∠CBD=60°，

∴∠OBC=∠ABD，

∴≌（SAS）；

（2）設BC、DE交于點F，如圖1，

∵≌，∴∠1=∠2，

∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAD=∠CBD=60°，

∴的度數不會變化，且；

（3）∵，∴∠EAC＝120°，∠OAE＝60°，∴∠OEA＝30°，

∴以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰，

∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，

∴AC＝AE＝2，∴OC＝1+2＝3，

∴當點C的坐標為（3，0）時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形．