Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O為圓心，以OA為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF．

（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若∠A=30°，求證：DG=DA；

（3）若∠A=30°，且圖中陰影部分的面積等于2，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）EF是⊙O的切線，理由詳見解析；（2）詳見解析；（3）⊙O的半徑的長為2．

【解析】

（1）連接OE，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠

OEG=90°，即可得到結論；

（2）根據含30°的直角三角形的性質證明即可；

（3）由AD是⊙O的直徑，得到∠AED=90°，根據三角形的內角和得到∠EOD=60°，求得

∠EGO=30°，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．

解：（1）連接OE，

∵OA=OE，

∴∠A=∠AEO，

∵BF=EF，

∴∠B=∠BEF，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AEO+∠BEF=90°，

∴∠OEG=90°，

∴EF是⊙O的切線；

（2）∵∠AED=90°，∠A=30°，

∴ED=AD，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠BEF=60°，

∵∠BEF+∠DEG=90°，

∴∠DEG=30°，

∵∠ADE+∠A=90°，

∴∠ADE=60°，

∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，

∴∠DGE=30°，

∴∠DEG=∠DGE，

∴DG=DE，

∴DG=DA；

（3）∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AED=90°，

∵∠A=30°，

∴∠EOD=60°，

∴∠EGO=30°，

∵陰影部分的面積

解得：r2=4，即r=2，

即⊙O的半徑的長為2．