Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A為平面內一點，給出如下定義：過點A作AB⊥y軸于點B，作正方形ABCD（點A，B，C，D順時針排列），即稱正方形ABCD為以A為圓心，OA為半徑的⊙A的“友好正方形”．
（1）如圖1，若點A的坐標為（1，1），則⊙A的半徑為 ．
（2）如圖2，點A在雙曲線y= （x＞0）上，它的橫坐標是2，正方形ABCD是⊙A的“友好正方形”，試判斷點C與⊙A的位置關系，并說明理由．
（3）如圖3，若點A是直線y=﹣x+2上一動點，正方形ABCD為⊙A的“友好正方形”，且正方形ABCD在⊙A的內部時，請直接寫出點A的橫坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：如圖2中，

∵A（2， ），∴O A=

∵AC=2 = =

∴O A＜A C，

∴點C在⊙A外．

（或如圖，利用勾股定理直觀分析：∵OB＜BC，AB=AB，∴O A＜A C也可以）

（3）解：如圖3中，

∵點A是直線y=﹣x+2上一動點，直線與坐標軸是夾角為45°，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴點C（0，2），

∴當AC＜OA時，正方形ABCD在⊙A內部，

∵AC=OA時，點A（1，1），

∴m＜1時，AC＜OA，

∵m=0時，正方形不存在，

∴m＜1且m≠0時，正方形ABCD在⊙A內部

【解析】解：（1）如圖1中，連接OA．
∵A（1，1），AB⊥y軸，
∴AB=OB=1，∠ABO=90°，
∴OA= = = ，
∴⊙A的半徑為 ．
所以答案是 ；